Lezione 2.4 Metodi Matematici Ingegneria. La trasformata di Fourier

Sia data una funzione F(x) per le quali valgono le condizioni di dirichlet ossia

sia F(x) definita nell’intervallo c< x < c+ 2l

Sia F(x) e F'(x) generalmente continua in c< x < c+ 2l

F(x + 2l) = F(x) ossia la funzione sia periodico con periodo pari a 2l . Allora in ogni punto di continuità la funzione vale

e nel punto di discontinuità vale

1/2 { F(x+0) + F (x -0) ossia il valore medio dei limiti destro e sinistro nella discontinuità. Ua serie con queste proprietà prende il nome di Serie di Fourier.

La Serie di Fourier

• si dice dispari se F(x) = F(-x)
• si dice pari se F(-x) = F(x)

Nel primo caso figurano i termini seno nel secondo caso i termini coseno definiti a meno di una costante.

Ossia

La forma complessa della Serie di Fourier è data da

Si definisce trasformata  seno di Fourier

Mentre la sua anti trasformata è data da

analogamente le trasformate seno e coseno di Fourier sono date da

e

Integrale di Fourier

Sia F(x) una funzione che soddisfa le condizioni di Dirichlet nell’intervallo di riferimento (-l, l) e sia il suo integrale convergente nell’intervallo e quindi la sua funzione F(x) assolutamente intergrabile allora

che può essere riscritta anche come

Questo per ogni punto di continuità mentre nei punti di discontinuità il suo valore diventa

1/2 ( F(x+0) + F(x-0))

e nella sua forma complessa si può riscrivere come

La trasformata di Fourier diventa quindi

Si definisce la trasformata coseno di Fourier

e  la sua anti trasformata come

Teorema della convoluzione della Trasformata di Fourier

La convoluzione di due funzioni F(x) e G(x) con x compreso nell’intervallo (-∝ , ∝) è data da

Analogamente se H(x) è la convoluzione di F(x) e G(x) allora si ha che  la trasformata di Fourier della convoluzione è il prodotto delle trasformate di Fourier

Relazione Trasformata di Fourier e di Laplace

Consideriamo la seguente funzione

Quindi applicando la trasformata di Fourier abbiamo che

dove s = x + iy, Inoltre dalla convoluzione di Fourier

abbiamo che