Lezione 1 Metodi Matematici Ingegneria. I numeri complessi.

In generale si definisce un numero complesso quel numero che non ha soluzioni nel campo dei numeri reali il tipico esempio è dato da

Nel particolare

Si definisce numero complesso

che gode delle seguenti proprietà

somma numeri complessi

prodotto numeri complessi

e vale il seguente

i * i = -1

Un numero complesso di dice formato da una parte reale e da una parte immaginaria.

a + ib -> a parte reale e b parte immaginaria.
Dato z= a +ib si definisce il suo complesso coniugato

Si definisce l’inverso di un numero complesso a + ib diverso da zero come

si definisce modulo di un numero complesso come

e la sua anomalia o argomento come

θ
individuato a meno di multipli di 2π.

E siccome vale la relazione trigonometrica che ci dice che

a = ρ cos θ e b = ρ sin θ

allora si ha che

e quindi il numero complesso si può anche riscrivere come

che porta alla formula finale che è data da

Formula di De Moivre

Siano z1 e z2 due numeri complessi e sia il loro prodotto dato da

vale quindi la seguente

Teorema delle Radici

Sia z un numero complesso

che ammette n radici n-esime w distinte date dalla formula

Esempio numero complessi
Calcoliamo adesso quale siano le tre radici cubiche e complesse del numero intero 8.

Quindi abbiamo che

che ci porta a concludere che le tre radici sono

Formula di Eulero

Si data la funzione

Anche per lei valgono le funzioni che abbiamo già conosciuto per i numeri reali ossia abbiamo che

consideriamo adesso la funzione z = x +i y con x, y appartenenti al campo dei numeri reali allora vale la seguente

che porta a scrivere la formula di Eulero come