Lezione 1.1 Metodi Matematici Ingegneria. Teoremi sui numeri complessi

Teorema della divisione numero complesso

Dati due polinomi A(x), B(x) ∈ R [x], sono determinati in modo unico i polinomi Q(x)
(quoziente) e R(x) (resto) in R [x], tali che

A(x) = B(x)Q(x) + R(x)

con R(x) = 0 oppure deg R(x) < deg B(x).
Se deg A(x) = n, deg B(x) = m:
i) se m <n ⇒ deg Q(x) = n − m e deg R(x) < m;
ii) se m > n ⇒ Q(x) = 0 e R(x) = A(x).
Se nel polinomio A(x) ∈ R[x], x `e sostituita da un c ∈ R, il risultato `e un elemento di R (e
lo stesso vale se invece di R lavoriamo in C).

Teorema del Resto

. Siano A(x) ∈ R[x] e B(x) = x−c, con c ∈ R. Il resto della divisione
di A(x) per B(x) `e A(c).
Infatti A(x) = (x − c)Q(x) + R(x) e ponendo x = c si ottiene A(c) = R(c) = R(x) perchè il grado del resto deve essere, in questo caso, zero (il grado del resto `e minore del grado del polinomio divisore) e quindi R(x) `e un polinomio costante.

Teorema di Ruffini.

Se A(x) ∈ R[x] e c ∈ R, allora c `e radice di A(x) ⇔ A(x) `e divisibile per (x − c).
Teorema fondamentale dell’algebra.

Ogni polinomio P(x) ∈ C[x] di grado n > 1, ha sempre n radici in C.
L’insieme dei polinomi a coefficienti interi, razionali, reali o complessi `e un anello commutativo con unità con le operazioni di somma e prodotto usuali.
• Un polinomio P(x) è una unità se esiste un altro polinomio Q(x) tale che P(x)Q(x) = 1. Se i coefficienti sono in un campo le unità sono tutti e soli i polinomi costanti diversi da zero.
• Un polinomio P(x) <= 0 si dice irriducibile se non `e una unit`a, e quando P(x) = A(x)B(x), almeno uno dei due polinomi A(x) e B(x) `e una unità.

Teorema delle radici razionali polinomio complesso

Sia

un polinomio a coefficienti interi e supponiamo che

e con c e d primi fra loro, sia una radice razionale di P(x). Allora c divide e d divide .