Lezioni di Elettrotecnica 2.7. Risoluzione Equazione Circuito RLC in continua

Consideriamo adesso un circuito elettrico che contenga al suo interno resistore , induttori e condensatori in corrente continua stazionario.

La risoluzione di un circuito di questo tipo presuppone la conoscenza dell’equazioni differenziali di secondo grado. Vediamo come risolve il problema grazie alla teoria delle equazioni differenziali.

Ovviamente la soluzione rientra più nel corso di Analisi 2 , quindi daremo molti concetti per assodati. Consideriamo il circuito RLC in evoluzione libera . Quindi abbiamo che

con condizioni iniziali note pari a

derivando e moltiplicando primo e secondo membro per 1/L otteniamo che

che con le condizioni iniziali diventa

ponendo ora

e

l’equazione sopra puo’ essere riscritta come

E la teoria dell’equazioni differenziali ci dice che la soluzione è del tipo

quindi andando a sostituire si ottiene che

che si può riscrivere come

ed essendo

ne consegue che

le cui radici sono

e quindi le due possibili combinazioni sono

Equazione che porta a tre possibili casi

• se si ha il caso sovrasmorzato
• se si ha il caso smorzamento critico
• se  si ha il caso sottosmorzato

Vediamo i vari casi nello specifico

Caso Smorzamento Critico

Quindi in questo caso abbiamo che

da cui deriva che

dove C2 e C1 sono le condizioni iniziale note.

ossia graficamente diventa

che graficamente diventa. Ossia dopo alcune costanti di tempo il valore della corrente tende ad andare a zero.

Caso Sottosmorzato

La soluzione porta ad avere delle radici complesse e coniugate del tipo

quindi la soluzione dell’equazione è del tipo

e siccome

il tutto è riscrivibile come

che graficamente diventa

Caso Sovrasmorzato

In questo caso le due radici sono date da

e l’equazione è del tipo

mentre graficamente abbiamo

 
I circuiti che abbiamo visto fino ad adesso erano in caso di evoluzione libera adesso vediamo in caso di evoluzione forzata ossia con l’ausilio di un generatore di corrente e un RLC in parallelo come in figura

In questo caso rifacendo debitamente tutti i calcoli otteniamo che

derivando e facendo opportuni calcoli

ponendo

otteniamo

che ancora una volta porta ai tre casi

E come potete vedere in tutti e tre i casi abbiamo un valore a regime e un valore transitorio che tende a scomparire dopo 5 costanti di tempo