Lezioni di Elettrotecnica 2.6. Risoluzione Equazione Circuito RC in continua

Vediamo adesso nello specifico una rete o regime stazionario e quali sono le equazioni che lo regolano. Innanzitutto come potete vedere dal nome stesso regime stazionario o in corrente continua implica che il sistema eccitato da generatori di tensione o corrente continua  sia alla fine a regime. Ossia che tutto il ciruito raggiunga un determinato valore ma non in maniera istantanea dopo la sua eccitazione, ma solamente dopo un determinato periodo di tempo che viene per questo chiamato transitorio. Nei circuiti di questo tipo possono essere presenti elementi resistivi con induttanze opppure con condensatori oppure sia con l’uno che che con l’altro. A seconda dei casi si dice che siamo in presenta di un circuito

• circuito RC 
• circuito RL
• circuito RLC

Le equazioni che descrivono questi ciruiti sono risolvibili come equazioni di secondo quadro.

Analizziamo adesso questi circuiti in varie configurazioni serie , parallello , evoluzione libera ossia non alimentato da generatori , alimentato etc. etc.

E per ognuna vedremo come risponde il circuito e quali sono le equauzioni che lo regolano.

Risoluzioni Equazioni Circuito RC evoluzione libera

Consideriamo il seguente circuito RC alimentato costituito da un resistore e da un condensatore. In questo circuito come potete vedere non è presente alcun tipo di generatore. Le equazioni che regolano la maglia sono pertanto

R i(t) + d vc(t) / dt = 0

e dove la relazione che lega la corrente alla tensione del condensatore è data da

i(t) = C dvc(t) /d(t)

e l’equazione sopra si puo’ riscrivere come . Che è un’equazione differenziale omogenea del primo ordine.

La cui soluzione è del tipo

mentre la corrente sul condensatore sarà data da

dove il prodotto RC prende il nome di costante di tempo. Come potete vedere dal grafico si nota un andamento molto interessante.

Ossia tutta la corrente che il condensatore rilascia nel tempo tende a dissiparsi in calore per effetto Joule nel resistore non appena il circuito viene chiuso. Per valori sufficentmente grandi di tempo ossia per la costante di tempo molto minore del tempo stesso il valore della tensione e quindi della corrente sul condensatore tende ad andare a zero.

Risoluzioni Equazioni Circuito RC con generatore di tensione.

Vediamo adesso lo stesso esempio di prima ma con attaccato un generatore di tensione costante. In questo caso l’equazione che regola la maglia è data da

Che per le considerazioni di prima diventa

riscrivibile anche come

Ossia un’equazione differenziale del primo ordine non omogenea. Dalla teoria dell’equazioni differenziali sappiamo che la sua risoluzione è data da

e la corrente di conseguenza è

Dal grafico si evidenzia che la tensione cresce nel tempo fino ad un valore finale che è V0 .

Ossia il valore di tensione impresso dal generatore. Quanto esprime dall’equazioni matematiche è in accordo anche con la fisica del circuito. In quanto il condensatore una volta totalmente carico sarà equivalente ad avere un corto circuito e quindi non ci sarà ai capi del medesimo una caduta di tensione. Dalla stessa equazione e dal grafico già si vede che il sistema dopo un regime di transitorio va regime a valore di Vo

Risoluzione circuito RC alimentato con gradino unitario.

Vediamo adesso come risponde un circuito di tipo RC che venga alimentato da un gradino.

Tipicamente per gradino si intende una funzione del tipo

Adesso per dare un senso al circuito altrimenti ricadremo nella tipologia sopra. Ritardiamo l’applicazione del gradino di un tempo t0 in questo modo la risposta del circuito diventa