Lezioni di Elettrotecnica 2.3. Teorema di Dualità, Tellegen, Reciprocità

Il principio di dualità in elettrotecnica permette di passare da un circuito ad un altro con delle sostituzioni dei suoi elementi costitutivi. I circuiti duali sono equivalenti.

Ossia nei circuiti duali si sostituisce

• generatore ideale di tensione con uno ideale di corrente
• resistenza interna con un conduttanza
• connessione serie con quelle paralello.

Nello specifico sappiamo che

V = E - RI

e sostituendo i parametri duali si ottiene che
 I = A- GV

ossia l’equazione del generatore di corrente.
Dalla condizione di corto circuito abbiamo che

Vcc = 0

e

Icc = E/R

a cui corrisponde il duale di tensione a vuoto che si esprime come
 I = 0

e tensione a vuoto

V = A / G

Più in generale per i teoremi duali valgono le seguenti regole

1) Punto di connessione tra n bipoli (con n > 2) —> Maglia interna (‘) formata da n bipoli
2) Maglia interna formata da n bipoli (con n>2) —> Punto di connessione tra n bipoli
3) Nodo di riferimento—>  Maglia esterna
4) Maglia esterna —> Nodo di riferimento
5) Resistore di resistenza —> Resistore di conduttanza G = R
6) Resistore di conduttanza G —> Resistore di resistenza R = G
7) Induttore di induttanza L (2) —> Condensatore di capacità C = L
8) Condensatore di capacità C (2)—> Induttore di induttanza L = C
9) Tensione—> Corrente
10) Corrente —> Tensione
11) Generatore di tensione E —> Generatore di corrente A = E
12) Generatore di corrente A —> Generatore di tensione E — A
13) Collegamento a stella—>Collegamento a triangolo
14) Collegamento a triangolo —> Collegamento a stella
15) Cortocircuito —> Circuito aperto
16) Circuito aperto —>Cortocircuito
17) Bipolo tra due punti di connessione Bipolo comune alle due maglie interne corrispondenti ai due punti di connessione
(‘) Con tale termine si intende una maglia che non contiene al suo interno alcun ramo della rete di cui fa parte. (2) Questa grandezza sarà incontrata successivamente.

Esempio Circuito Duale

Consideriamo il seguente circuito di figura a e vediamo come si perviene a quello di figura b

in primis per la regola del partitore di tensione si vede che

per trovare il circuito reciproco bisogna considerare che

• Maglia (a), considerata come maglia interna corrisponde Nodo (1)
• Maglia (a), considerata come maglia esterna corrisponde Nodo (0)
• Generatore di tensione corrisponde il Generatore di corrente
• Tensione V„ corrisponde la corrente In
• n resistenze in serie Ri,…, R„ corrispondono n conduttanze in parallelo Gi,…, G„
• Punto di connessione tra due resistenze in serie, ad esempio  R„- R„-1   corrisponde Maglia interna costituita dalle due conduttanze corrispondenti, Gn e Gn_,, collegate in parallelo.

Con tutte queste modifiche il circuito a si trasforma in quello b e la corrente diventa

Teorema di Tellegen

Il Teorema di Tellegen o del bilanciamento delle potenze virtuali afferma che dati due differenti circuiti elettrici che siano lineare o non se

• Vi Tensioni che soddisfano le leggi di Kirckoff sulle maglie
• Ii Correnti che soddisfano le leggi di Kirckoff sui nodi.

Allora

∑ Vi Ii = 0

Teorema di Reciprocità

Consideriamo un circuito lineare del tipo dove non siano presenti generatori o passivo.

Poniamo i seguenti assiomi

• Se colleghiamo un generatore i in a e un corto circuito in b E
  e Ib
• Se si collega un generatore in b e si considera la corrente Ia e la tensione Eb

Allora si dimostra che

Ea / Ib = Eb / Ia

dove le resistenze del dispositivo

Rab = Rba

Vengono comunemente chiamate trans-resistenze il loro inverso sono sono le trans conduttanze.